各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。
如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。
如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令 fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C 则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是 （1）AC-B*B>0时有极值 （2）AC-B*B<0时没有极值 （3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值 如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。
如果是条件极值，那么更复杂一些。
不一定，首先要明确的是：只有当多元函数处处连续可微的时候极值点的所有偏导数是都等于0的。 所以呢，所有的偏导数都等于0仅仅是极值点的必要条件，并不是充分条件。很简单的例子就是鞍点。在做题的时候，在寻找潜在的极值点的时候，的确可以先令偏导数等于0，把所有可能的点都计算出来，然后带入函数去看它们的具体性质，比如进一步考察二阶偏导数的性质等等。这样才能判断是不是真的极值点。
在0处导数存在且为0，但既不是极值也不是鞍点。
一元函数尚且如此，多元函数更没有该结论。
导数为0的点，一种可能是极值点，另一种可能是“驻点”。例如：
在x=0点，y’=0，但这个点显然不是极值点。而是驻点。
